section barre bois pour pseudo-pergola

Bonjour,

Je souhaite remplacer une structure assez simple qui fait office de pergola car le bois est pourri. La structure ne porte rien (sauf un rosier). Elle est aujourd'*** très "grosse" avec deux poteaux de 20 x 20 et une poutre de 9 x 20 entre les deux sur une longueur de 4,10 m. Et 3,70 m entre les deux jambes de forces.

Je souhaite l'alléger et je pense que des poteaux de 10 x 10 suffirait. Mais quel section de poutre dois-je prendre pour éviter une flèche trop importante ?
Le plus simple pour moi serait de prendre aussi du 10 x 10, mais est-ce que ça passe ?

Je n'ai pas la compétence et le temps pour faire des calculs de flèche. Donc j'espère qu'un sachant saura me répondre ;-)
Merci d'avance.